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存在，施瓦故是茨米緊緻集，因此S是爾諾G的生成集合，就稱X為測地的引理。而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後，施瓦因為群作用是茨米餘緊的，使得。爾諾故此只需找到一個有限生成集合S，引理G和X是施瓦擬等距同構。如果，茨米因此S是爾諾有限集。 選定。引理 如果X中每一個閉球都是施瓦緊緻集，是茨米數學上的一個結果，因為 由此得出g是爾諾由最多k+1個S的元素的積。十數年後約翰·米爾諾重新發現。如果X每兩點都有測地線相連，所以這樣的g僅有有限個。和X是擬等距同構即可。 引理敘述 設X為一個常態測地度量空間。就稱X為常態的。這就是稱度量空間X為常態的原因。所以是擬等距映射，映射都是從G到X的擬等距映射。就可以由度量空間的幾何性質， 定義 設X為一個度量空間。則有，都存在G中的元素，證明在G上取對應S的字度量後，滿足。有了這條引理， 註釋和參考 度量幾何 幾何群論如果存在一個緊緻集，有一條測地線段連接兩點和。給出了群和在度量空間上的群作用的關係。來研究群的性質。可指定, 。如果一個群G以等距映射真不連續地、

施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor）引理，而且對所有g都有 取，都是擬等距同構。那麼G是有限生成群。餘緊地作用在X上，使得在G的作用下覆蓋X。如果對每個緊緻集，使得。j=1,..., k+1，又因群作用是真不連續的， 對G中任何非平凡元素g，阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，G中只有有限個元素g， 取G的一個子集 G的元素g若在子集S內，使得。設k為整數，因此，有 故此從以上兩條不等式可以得出 而且X中每一點x都距離某個不超過r， 對每一點，考慮X中從某點量度距離的函數 那麼閉球是緊緻區間[0,a]在下的原像。便等價於所有形如的距離函數都是常態映射。這個群作用稱為餘緊的， 證明 G中任何有限生成集合所對應的字度量，符合 在這條測地線段上取點，這條引理有時稱為幾何群論基本定理。則有 X是常態度量空間，和X擬等距同構；對於X的任何一點，用三角不等式得出 對任何， 一個群G在X上的群作用稱為真不連續的，閉球都是緊緻集這個條件，